По правилам БЧ и РЖД - у начальника станции (вокзала) в течение 3 часов с момента прибытия на станцию поезда. При возобновлении поездки пассажир обязан доплатить стоимость плацкарты.

Смотрите "Эмиль тур". Автобусы до рынка в Люблино. Приезжают в 4-30, далее нужно добраться либо до Курского вокзала, либо до Ярославского. Стоимость лежачего места в автобусе 1500 р. Поездов прямых тоже нет, только через Москву. Если бы мне предстоял такой маршрут, однозначно выбрал бы поезд.

Только до Москвы, а оттуда до нужного пункта. Осмелюсь заметить, на поезде, все-таки, удобнее и комфортнее. Фирменный поезд Саранск-Москва приходит на Казанский вокзал в 6 утра. Перейти площадь на Ярославский и оттуда в Мытищи, например.

Да, кстати, если дороговато из Саранска, то из соседней Рузаевки есть масса поездов подешевле, проходящие. Самарский очень неплохой ... ну и тд

самое предсказуемое - аэроэкспресс до Киевского вокзала и обратно, подробное расписание и время в пути на официальном сайте https://aeroexpress.ru/aero/toMoscow.html (там же на сайте подробно написано про существующие тарифы).
на Киевском вокзале, предварительно купив билет, садитесь на поезд синей ветки метро в сторону центра до станции Площадь Революции, на станции смотрите выход в город в сторону одноименной площади.

есть варианты подешевле с автобусами - подробно описаны на сайте - http://www.vnukovo.ru/transport/bus/ - я бы выбрал до Саларьево на красной ветке. Т.е. здесь получится 4 поездки на общественном транспорте (автобус+метро - туда-обратно). В этом случае от Саларьево по красной ветке без пересадок до станции Охотный ряд. Вариант до Саларьево сам я выбирал ночью, когда нет трафика вообще. Днем не могу сказать, насколько все быстро и предсказуемо получится. Само собой, метро все двигается без проблем, каждые 2-3 минуты

Около года назад, у моего сына, по дороге из Таиланда было около 5 часов, правда в Шереметьево. Воспользовался по принципу первого варианта (только аэроэкспресс до Белорусского вокзала). Всё успел.

Займёт 1 час и 3 минуты. Аэроэкспресс и метро.
https://yandex.ru/...

аэроэкспрессом до Киевского вокзала, с пересадкой на "голубую" (официально - "Филёвскую") линию метро до конца ("Александровский сад")
45 минут, 1 пересадка, 852 метра пешком, 525 рублей за билеты

Правило перевозки животных необходимо уточнять на сайтах перевозчиков. Чем Вы хотите ехать?