Здравствуйте! Вы можете доехать из аэропорта на метро до станции Şişhane (линия метрополитена
M2). Эта станция ближайшая к Вашему отелю. Правда, от нее еще придется до отеля прогуляться или на общественном транспорте ехать (про это не подскажу).
От отеля до площади Султанахмед или пешком (около трех километров, заодно посмотрите Галатский мост, Египетский базар) или на общественном транспорте (кажется, на автобусе можно доехать).
Думаю, если спросите в отеле, Вам подробно расскажут, как проще добраться.

Ветка метро, которая подходит к аэропорту, до Шишхане не идет. Конечная остановка - Аксарай (Aksaray). Так что варианта два - или на метро доехать до Zeytinburunu, там пересесть на трамвай в направлении Kabatas и ехать почти до конца - до остановки Tophane. Или на шатл-басе Havatas доехать до площади Таксим, а дальше или на такси до отеля (10-15 TL), или на метро до остановки Şişhane, но от Шишхане еще минут 20 пешком по сильно пересеченной местности - район Джихангир расположен на довольно крутом холме.
От отеля до Султанахмета - на том же трамвае линии Zeytinburunu / Bagcilar - Kabatas, но только в обратную сторону, до остановки Sultanahmet. Или пешком минут 40

Да, теперь ANONİM istanbulkart не даёт скидки при пересадке, вы каждый раз платите заново. И не даёт возвратов на Мармарай и Метробас: придётся платить полный тариф 14.69 на Метробасе и 16.95 - 19.79 лир на Мармарае (там фиксированный тариф между определёнными станциями, 21.91 лира - это за путь по которому вы скорее всего не будете ехать, это вся линия).
А так как скидок больше нет, то пользуйтесь одной картой на двоих и по возможности избегайте Метробасов и Мармарая.

Да, кэшбэка на Мармарае больше нет, был неприятно удивлён недавно. Вдвоем ездить как и на остальных видах транспорта - просто прикладывать одну карту по очереди.

Да, с истанбулкарт деньги списываются каждый раз при проходе через турникет.

Нет.