На сайте отеля есть ссылка location. Судя по карте, что там разместили, наиболее близкая для вас будет остановка трамвая Султанахмет (Sultanahmet / Blue Mosque)
Думаю, вы уже знаете как добраться, но все же постараюсь написать как, чтобы без всяких происшествий :)

В аэропорту Ататюрк есть метро (самый нижний этаж) и доедете до остановки Зейтинбурну (Zeytinburnu), там пересядете на трамвай который едет в Кабаташ (Kabataş). Ваша ближайшая остановка Султанахмет (Sultanahmet / Blue Mosque).

Приятного вам отдыха :)
Услуги индивидуальных гидов по Стамбулу

http://tvoygid.com/

Да, теперь ANONİM istanbulkart не даёт скидки при пересадке, вы каждый раз платите заново. И не даёт возвратов на Мармарай и Метробас: придётся платить полный тариф 14.69 на Метробасе и 16.95 - 19.79 лир на Мармарае (там фиксированный тариф между определёнными станциями, 21.91 лира - это за путь по которому вы скорее всего не будете ехать, это вся линия).
А так как скидок больше нет, то пользуйтесь одной картой на двоих и по возможности избегайте Метробасов и Мармарая.

Да, кэшбэка на Мармарае больше нет, был неприятно удивлён недавно. Вдвоем ездить как и на остальных видах транспорта - просто прикладывать одну карту по очереди.

Да, с истанбулкарт деньги списываются каждый раз при проходе через турникет.

Нет.