на общественном транспорте вполне.
Гугл показывает отель рядом с Султанахметом, тогда можно так: по ссылке карта транспорта, из аэропорта идет красная линия метро (внизу слева нарисован самолетик), потом Вам надо пересесть на трамвай линии Т1 (синяя линия), например, на станции Zeitinburnu. И дальше на этом трамвае до остановки Cemberlitas. А там пару минут уже.
При смене метро на трамвай нужно пробивать дополнительный билетик (в аэропорте на входе в метро есть автоматы по продаже билетов, и касса конечно же - т.е. берите сразу по 2 билета минимум на 1 чел).
ссылка на карту транспорта: http://www.istanbul-ulasim.com.tr/...

В Стамбуле можно спокойно брать такси в аэропорту, предварительно спросив цену, ориентировочно до Султанахмет будет 25-30$

Да, теперь ANONİM istanbulkart не даёт скидки при пересадке, вы каждый раз платите заново. И не даёт возвратов на Мармарай и Метробас: придётся платить полный тариф 14.69 на Метробасе и 16.95 - 19.79 лир на Мармарае (там фиксированный тариф между определёнными станциями, 21.91 лира - это за путь по которому вы скорее всего не будете ехать, это вся линия).
А так как скидок больше нет, то пользуйтесь одной картой на двоих и по возможности избегайте Метробасов и Мармарая.

Да, кэшбэка на Мармарае больше нет, был неприятно удивлён недавно. Вдвоем ездить как и на остальных видах транспорта - просто прикладывать одну карту по очереди.

Да, с истанбулкарт деньги списываются каждый раз при проходе через турникет.

Нет.