Такси... )))
Или на метро, оно идет прямо из аэропорта, до остановки Зейтинбурну, там пересесть на трамвай Т1, и ехать до базара... )) Ничего сложного... )

Метро и трамвай самое дешевое. Такси самое быстрое и комфортное. 25-30 долларов. Но договаривайтесь сразу при посадке.

Ни с кем ни о чем заранее договариваться не нужно, не провоцируйте таксистов себя надувать. Все такси работают по счетчикам, от аэропорта до Аксарая - 50 TL (плюс-минус три копейки) - 25 долларов.
Если на общественном транспорте - то на метро до Zeytinburunu, дальше пересаживаетесь на трамвай Т1 Bagcilar-Kabatas в сторону Kabatas и едете до остановки либо Cemberlitas, либо Beyazit - Kapali Carsi. Или можно доехать на метро до конечной Aksaray и прогуляться пешочком - там недалеко, всего две остановки - минут 10-15.

Да, теперь ANONİM istanbulkart не даёт скидки при пересадке, вы каждый раз платите заново. И не даёт возвратов на Мармарай и Метробас: придётся платить полный тариф 14.69 на Метробасе и 16.95 - 19.79 лир на Мармарае (там фиксированный тариф между определёнными станциями, 21.91 лира - это за путь по которому вы скорее всего не будете ехать, это вся линия).
А так как скидок больше нет, то пользуйтесь одной картой на двоих и по возможности избегайте Метробасов и Мармарая.

Да, кэшбэка на Мармарае больше нет, был неприятно удивлён недавно. Вдвоем ездить как и на остальных видах транспорта - просто прикладывать одну карту по очереди.

Да, с истанбулкарт деньги списываются каждый раз при проходе через турникет.

Нет.