Ближайшая остановка трамвая - Султанахмет, от нее еще минут 15 пешком. Как добраться до Султанахмета тут уже неоднократно подробно описывали - метро+трамвай. Истанбулкарт можно купить на станции метро в аэропорту, там же можно и пополнить. Можно и на такси - время в пути будет примерно такое же, или воспользуйтесь трансфером.

Благодарю за полезную информацию.

Да, теперь ANONİM istanbulkart не даёт скидки при пересадке, вы каждый раз платите заново. И не даёт возвратов на Мармарай и Метробас: придётся платить полный тариф 14.69 на Метробасе и 16.95 - 19.79 лир на Мармарае (там фиксированный тариф между определёнными станциями, 21.91 лира - это за путь по которому вы скорее всего не будете ехать, это вся линия).
А так как скидок больше нет, то пользуйтесь одной картой на двоих и по возможности избегайте Метробасов и Мармарая.

Да, кэшбэка на Мармарае больше нет, был неприятно удивлён недавно. Вдвоем ездить как и на остальных видах транспорта - просто прикладывать одну карту по очереди.

Да, с истанбулкарт деньги списываются каждый раз при проходе через турникет.

Нет.