Добрый день,
есть трансфер от железнодорожного вокзала в Вильнюсе до выбранной вами гостиницы в Друскининкай. Цена билета на одного человека в одну сторону 14,5 евро. Правда, везут только в 8:30 утра, а вы на это время, как понимаю, не попадаете. Обратно рейсов больше.
Информацию я смотрел на этом сайте
http://www.ollex.lt/, там можно выбрать и русский язык.
Есть ещё вариант, стоит он 64 евро, зато прямо из аэропорта забирают. Их номер телефона: +370 (624) 00010
Сайт
http://www.nuoma911.lt/keleivi-perve-imas (хотя сайт только на литовском, пишут, что сотрудники говорят и по-русски)
Если трансфера не найдёте, я бы вам советовал из аэропорта поехать на железнодорожный вокзал (либо на электричке, либо на маршрутке или такси), а уже от него перейти на авто вокзал (это займёт 1 минуту) и оттуда поехать самим на автобусе, они часто курсируют.