Уверен, что и вам, и ребенку в Батуми будет хорошо.
В Батуми огромный выбор кафе и ресторанов на любой вкус и кошелек. Питаться безопасно, но не везде вкусно. Поэтому при выборе заведения постарайтесь посоветоваться с кем-нибудь из местных или почитайте отзывы на Трипэдвайзере.
По городу с коляской перемещаться тяжело: узкие мостовые часто заставлены машинами, нет съездов и т.д.) Но, в туристическом центре, где вы, наверняка, будете проводить время ,с коляской замечательно - очень красивая длинная набережная с зеленой зоной, площадками для детей и кафе, новые здания...
Пляж достаточно чистый, несмотря на то, что городской.
Если вы любите тихие места, то советую заехать в Квариати.