да вести можно в своей клетке- никто не предоставляет, причем она должна быть жесткой и предназначенной для перелета. Уточняйте об этом при покупке в зоомагазине. А то однажды наблюдала рыдающую владелицу и внушительных размеров кота, которого не брали ни на борт, ни в багаж, т.к. у владелицы была только мягкая сумка для него.
Из собственного опыта могу рекомендовать до полета необходимо готовиться - посетить вет.клинику с животным, сдать анализы и взять специальную справку, а в день полета заложить дополнительное время на поиск в аэпопорту вет.контроля и его прохождения.
Конечно лучше изучить процедуру перелета с животным на сайте авиакомпании и на специализированных форумах собачников вашей породы.