Два варианта, оба начинаются на автостанции Шарма, той, что за свалками, что за большой мечетью))
Первый скучный - автобус до Табы, пешком через границу и как-то до Эйлата, там и пешочком в пределах часа с горки.
Второй веселее - автобусом до Нувейбы, оттуда паромом в Акабу и далее автобусом в Эйлат.
Имейте в виду, что Акаба в миллион раз интереснее Эйлата и в плане активностей, и в плане пляжей, и тем более в плане бюджетного проживания!